理解光速不變

這是我看到的最好的對光速不變的理解。

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誤解來源於語言的不當性。物理學中的很多理解障礙,源於人類提出的問題不恰當、不合理。比如,光的速度是多少?這個問題是不恰當的,因為速度不是一個好的物理量。我們要學會區分物理量的好壞,從而問出有意義的問題。

速度為什麼不是好的物理量呢?這跟速度的定義有關。速度是定義為空間對時間的導數。這就隱含了一層意思,就是認為時間是標記物體運動的一個參數,空間坐標是時間的函數,所以我們要了解空間關於時間的變化率,也就是速度。

這種定義明顯地把空間和時間放在了不對等的位置上。一個粒子在時空中運動,劃過一條世界線。按照狹義相對論的時空觀,時空是等價的。粒子不僅在空間方向上運動,也在時間方向上運動。你憑什麼要求空間對時間求變化率呢?這就好像你看到一個拋物運動的軌跡以後,問出一個問題:水平位移對垂直位移的變化率是多少?這有意義嗎?有意義的問題應該是水平速度和垂直速度分別是多少。水平運動和垂直運動是兩個平等的自由度,我們應該分別詢問它們關於一個共同參數(比如時間)的變化率,才有意義。

作為類比,在相對論中,時間和空間都變成了平等的自由度,因此我們不能要求一個自由度對另一個自由度求變化率,而是要分別詢問,時間和空間關於某個共同參數(比如世界線軌跡)的變化率,這才有意義。所以我們要定義一個有4個分量的速度:它的三個空間分量分別是三個空間坐標對proper time (固有時)的變化率,反映了物體在空間中的運動;還有一個時間分量是時間對 proper time 的變化率,反映了物體在時間方向上的運動。這種速度被稱為恰當速度(proper velocity),又稱為 velocity 4-vector,它是Lorentz 協變的。我們容易感受到,這樣的速度才是好的速度。

這樣,我們會發現,即使是一個靜止的物體,它其實也在運動。靜止的物體沿著時間的方向運動,從過去走向將來,其恰當速度的“大小”(scalar product of velocity 4-vector)正好就是光速。所以從這個意義上說,每一個物體都在時空中以光速運動!光速不是光所特有的,而是一切物體都共有的恰當速度。靜止的物體和光的唯一區別就在於,靜止的物體把所有的恰當速度都用到了在時間方向上的運動上去了,而光則把恰當速度“平均分配”到時間和空間兩個方向上的運動上去。

那麼這下好了,所有的物體在時空中的恰當速度都是一樣大的,那麼我們怎麼比較物體運動的快慢呢?由於恰當速度不能夠再用於衡量物體的快慢,我們需要專門針對物體的快慢定義一個新的物理量,叫做快度。

快度定義為:arccosh( v0 / c ), 其中v0 是恰當速度的第四分量,c 是真空光速。也許,我們會覺得很奇怪,為什麼快度這麼復雜的概念反而是一個好的物理量呢?這與我們看問題的角度有關,在狹義相對論的時空觀看來,快度是衡量物體運動快慢最自然的物理量。因為它就是時空轉動的轉角(如果我們把 Lorentz boost 想像成一種旋轉的話),從某種意義上,我們可以認為快度衡量了世界線和時間軸的“夾角”。對於靜止的物體,世界線沿時間軸方向,夾角為0,所以快度也為0,故稱之為靜止。對於光來說,比較奇特一些,因為時空是 Minkowski 空間,所以夾角這件事情不是我們直接用量角器可以量出來的。實際上,按照定義式計算,光的快度是無窮大。

光的快度是無窮大,這說明了兩個問題:第一,沒有任何物體的快度可以比光更大,所以光是最快的;第二,無窮大加減任何有限的快度,仍然是無窮大,所以光在任何有限快度的參考系中,都是無窮快的,也就是說,光速不變。